程序包 org.hipparchus.special.elliptic.legendre

类 LegendreEllipticIntegral

java.lang.Object
org.hipparchus.special.elliptic.legendre.LegendreEllipticIntegral
public class LegendreEllipticIntegral extends Object
Legendre形式中的完整和不完整椭圆积分。

椭圆积分与Jacobi椭圆函数相关。

请注意，在复平面中计算椭圆积分时，由于分支切割，会出现许多问题。请参阅用户指南进行详细解释。

对于Legendre椭圆积分的参数解释有不同的约定。在数学文本中，这些约定通过参数之间的分隔符显示。例如，对于第一类不完整积分F，我们有：

  • F(φ, k)：第一个参数φ是角度，第二个参数k是椭圆模量：这是积分的三角形式
  • F(φ; m)：第一个参数φ是角度，第二个参数m=k²是参数：这也是积分的三角形式
  • F(x|m)：第一个参数x=sin(φ)不再是角度，第二个参数m=k²是参数：这是Legendre形式
  • F(φ\α)：第一个参数φ是角度，第二个参数α是模角

由于在方法调用中没有分隔符，我们必须采用一种约定并坚持下去。在Hipparchus中，我们采用了Legendre形式（即F(x|m)，其中x=sin(φ)和m=k²）。这些约定与Wolfram Alpha函数EllipticF、EllipticE、ElliptiPI等一致。

从以下版本开始:
2.0
另请参阅:

  • 方法详细资料

    • nome

      public static double nome(double m)
      获取nome q。
      参数:
      m - 参数（m=k²，其中k是椭圆模量）
      返回:
      nome q

    • nome

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> T nome(T m)
      获取nome q。
      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      m - 参数（m=k²，其中k是椭圆模量）
      返回:
      nome q

    • bigK

      public static double bigK(double m)
      获取第一类完整的椭圆积分K(m)。

      第一类完整的椭圆积分K(m)是\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} \]，它对应于Jacobi椭圆函数的实四分之一周期

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      参数:
      m - 参数（m=k²，其中k是椭圆模量）
      返回:
      第一类完整的椭圆积分K(m)
      另请参阅:

    • bigK

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> T bigK(T m)
      获取第一类完整的椭圆积分K(m)。

      第一类完整的椭圆积分K(m)是\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} \]，它对应于Jacobi椭圆函数的实四分之一周期

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      m - 参数（m=k²，其中k是椭圆模量）
      返回:
      第一类完整的椭圆积分K(m)
      另请参阅:

    • bigK

      public static Complex bigK(Complex m)
      获取第一类完全椭圆积分K(m)。

      第一类完全椭圆积分K(m)为\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} \]，它对应于雅各比椭圆函数的实四分之一周期

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k为椭圆模量)
      返回:
      第一类完全椭圆积分K(m)
      另请参阅:

    • bigK

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> FieldComplex<T> bigK(FieldComplex<T> m)
      获取第一类完全椭圆积分K(m)。

      第一类完全椭圆积分K(m)为\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} \]，它对应于雅各比椭圆函数的实四分之一周期

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k为椭圆模量)
      返回:
      第一类完全椭圆积分K(m)
      另请参阅:

    • bigKPrime

      public static double bigKPrime(double m)
      获取第一类完全椭圆积分K'(m)。

      第一类完全椭圆积分K'(m)为\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-(1-m) \sin^2\theta}} \]，它对应于雅各比椭圆函数的虚四分之一周期

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k为椭圆模量)
      返回:
      第一类完全椭圆积分K'(m)
      另请参阅:

    • bigKPrime

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> T bigKPrime(T m)
      获取第一类完全椭圆积分K'(m)。

      第一类完全椭圆积分K'(m)为\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-(1-m) \sin^2\theta}} \]，它对应于雅各比椭圆函数的虚四分之一周期

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k为椭圆模量)
      返回:
      第一类完全椭圆积分K'(m)
      另请参阅:

    • bigKPrime

      public static Complex bigKPrime(Complex m)
      获取第一类完全椭圆积分K'(m)。

      第一类完全椭圆积分K'(m)为\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-(1-m) \sin^2\theta}} \]，它对应于雅各比椭圆函数的虚四分之一周期

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k为椭圆模量)
      返回:
      第一类完全椭圆积分K'(m)
      另请参阅:

    • bigKPrime

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> FieldComplex<T> bigKPrime(FieldComplex<T> m)
      获取第一类完全椭圆积分K'(m)。

      第一类完全椭圆积分K'(m)为\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-(1-m) \sin^2\theta}} \]，它对应于雅各比椭圆函数的虚四分之一周期

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k为椭圆模量)
      返回:
      第一类完全椭圆积分K'(m)
      另请参阅:

    • bigE

      public static double bigE(double m)
      获取第二类完全椭圆积分E(m)。

      第二类完全椭圆积分E(m)为\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-m \sin^2\theta} d\theta \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k为椭圆模量)
      返回:
      第二类完全椭圆积分E(m)
      另请参阅:

    • bigE

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> T bigE(T m)
      获取第二类完全椭圆积分E(m)。

      第二类完全椭圆积分E(m)为\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-m \sin^2\theta} d\theta \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k为椭圆模量)
      返回:
      第二类完全椭圆积分E(m)
      另请参阅:

    • bigE

      public static Complex bigE(Complex m)
      获取第二类完全椭圆积分E(m)。

      第二类完全椭圆积分E(m)为\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-m \sin^2\theta} d\theta \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k为椭圆模量)
      返回:
      第二类完全椭圆积分E(m)
      另请参阅:

    • bigE

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> FieldComplex<T> bigE(FieldComplex<T> m)
      获取第二类完全椭圆积分E(m)。

      第二类完全椭圆积分E(m)为\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-m \sin^2\theta} d\theta \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k为椭圆模量)
      返回:
      第二类完全椭圆积分E(m)
      另请参阅:

    • bigD

      public static double bigD(double m)
      获取完整的椭圆积分 D(m) = [K(m) - E(m)]/m。

      完整的椭圆积分 D(m) 是 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} d\theta \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k是椭圆模量)
      返回:
      完整的椭圆积分 D(m)
      另请参阅:

    • bigD

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> T bigD(T m)
      获取完整的椭圆积分 D(m) = [K(m) - E(m)]/m。

      完整的椭圆积分 D(m) 是 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} d\theta \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k是椭圆模量)
      返回:
      完整的椭圆积分 D(m)
      另请参阅:

    • bigD

      public static Complex bigD(Complex m)
      获取完整的椭圆积分 D(m) = [K(m) - E(m)]/m。

      完整的椭圆积分 D(m) 是 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} d\theta \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k是椭圆模量)
      返回:
      完整的椭圆积分 D(m)
      另请参阅:

    • bigD

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> FieldComplex<T> bigD(FieldComplex<T> m)
      获取完整的椭圆积分 D(m) = [K(m) - E(m)]/m。

      完整的椭圆积分 D(m) 是 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} d\theta \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      m - 参数 (m=k²，其中k是椭圆模量)
      返回:
      完整的椭圆积分 D(m)
      另请参阅:

    • bigPi

      public static double bigPi(double n, double m)
      获取第三类完整椭圆积分 Π(n, m)。

      第三类完整椭圆积分 Π(n, m) 是 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}(1-n \sin^2\theta)} \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      参数:
      n - 椭圆特征
      m - 参数 (m=k²，其中k是椭圆模量)
      返回:
      第三类完整椭圆积分 Π(n, m)
      另请参阅:

    • bigPi

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> T bigPi(T n, T m)
      获取第三类完整椭圆积分 Π(n, m)。

      第三类完整椭圆积分 Π(n, m) 是 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}(1-n \sin^2\theta)} \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      n - 椭圆特征
      m - 参数 (m=k²，其中k是椭圆模量)
      返回:
      第三类完整椭圆积分 Π(n, m)
      另请参阅:

    • bigPi

      public static Complex bigPi(Complex n, Complex m)
      获取第三类完整椭圆积分 Π(n, m)。

      第三类完整椭圆积分 Π(n, m) 是 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}(1-n \sin^2\theta)} \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      参数:
      n - 椭圆特征
      m - 参数 (m=k²，其中k是椭圆模量)
      返回:
      第三类完整椭圆积分 Π(n, m)
      另请参阅:

    • bigPi

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> FieldComplex<T> bigPi(FieldComplex<T> n, FieldComplex<T> m)
      获取第三类完整椭圆积分 Π(n, m)。

      第三类完整椭圆积分 Π(n, m) 是 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}(1-n \sin^2\theta)} \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      n - 椭圆特征
      m - 参数 (m=k²，其中k是椭圆模量)
      返回:
      第三类完整椭圆积分 Π(n, m)
      另请参阅:

    • bigF

      public static double bigF(double phi, double m)
      获取不完整的第一类椭圆积分 F(φ, m)。

      不完整的第一类椭圆积分 F(φ, m) 是 \[ \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      参数:
      phi - 幅度 (即积分的上限)
      m - 参数 (m=k²，其中k是椭圆模量)
      返回:
      不完整的第一类椭圆积分 F(φ, m)
      另请参阅:

    • bigF

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> T bigF(T phi, T m)
      获取不完整的第一类椭圆积分 F(φ, m)。

      不完整的第一类椭圆积分 F(φ, m) 是 \[ \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} \]

      评估函数的算法基于Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      phi - 幅度 (即积分的上限)
      m - 参数 (m=k²，其中k是椭圆模量)
      返回:
      不完整的第一类椭圆积分 F(φ, m)
      另请参阅:

    • bigF

      public static Complex bigF(Complex phi, Complex m)
      获取不完整的第一类椭圆积分 F(φ, m)。

      注意！目前，对于不完整情况下的复数椭圆积分被视为实验性质，存在已知问题。

      不完整的第一类椭圆积分 F(φ, m) 是 \[ \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\

      参数:
      phi - amplitude (i.e. upper bound of the integral)
      m - parameter (m=k² where k is the elliptic modulus)
      返回:
      incomplete elliptic integral of the first kind F(φ, m)
      另请参阅:

    • bigF

      public static Complex bigF(Complex phi, Complex m, ComplexUnivariateIntegrator integrator, int maxEval)
      获取不完整的第一类椭圆积分 F(φ, m) 使用数值积分。

      注意！目前不完整情况下的复数椭圆积分被视为实验性质，存在已知问题。

      第一类不完整椭圆积分 F(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} \]

      评估函数的算法基于数值积分。如果积分路径过于接近被积函数的极点，则即使对于非常大的 maxEval，积分也会失败并抛出 MathIllegalStateException。这是正常行为。

      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      integrator - 要使用的积分器
      maxEval - 最大评估次数（实部和虚部分别进行评估，因此最多可能使用两倍的此数字）
      返回:
      第一类不完整椭圆积分 F(φ, m)
      另请参阅:

    • bigF

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> FieldComplex<T> bigF(FieldComplex<T> phi, FieldComplex<T> m)
      获取不完整的第一类椭圆积分 F(φ, m)。

      注意！目前不完整情况下的复数椭圆积分被视为实验性质，存在已知问题。

      第一类不完整椭圆积分 F(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} \]

      评估函数的算法基于 Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      返回:
      第一类不完整椭圆积分 F(φ, m)
      另请参阅:

    • bigF

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> FieldComplex<T> bigF(FieldComplex<T> phi, FieldComplex<T> m, FieldComplexUnivariateIntegrator<T> integrator, int maxEval)
      获取不完整的第一类椭圆积分 F(φ, m)。

      注意！目前不完整情况下的复数椭圆积分被视为实验性质，存在已知问题。

      第一类不完整椭圆积分 F(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} \]

      评估函数的算法基于数值积分。如果积分路径过于接近被积函数的极点，则即使对于非常大的 maxEval，积分也会失败并抛出 MathIllegalStateException。这是正常行为。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      integrator - 要使用的积分器
      maxEval - 最大评估次数（实部和虚部分别进行评估，因此最多可能使用两倍的此数字）
      返回:
      第一类不完整椭圆积分 F(φ, m)
      另请参阅:

    • bigE

      public static double bigE(double phi, double m)
      获取不完整的第二类椭圆积分 E(φ, m)。

      第二类不完整椭圆积分 E(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \sqrt{1-m \sin^2\theta} d\theta \]

      评估函数的算法基于 Carlson椭圆积分。

      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      返回:
      第二类不完整椭圆积分 E(φ, m)
      另请参阅:

    • bigE

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> T bigE(T phi, T m)
      获取不完整的第二类椭圆积分 E(φ, m)。

      第二类不完整椭圆积分 E(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \sqrt{1-m \sin^2\theta} d\theta \]

      评估函数的算法基于 Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      返回:
      第二类不完整椭圆积分 E(φ, m)
      另请参阅:

    • bigE

      public static Complex bigE(Complex phi, Complex m)
      获取不完整的第二类椭圆积分 E(φ, m)。

      注意！目前不完整情况下的复数椭圆积分被视为实验性质，存在已知问题。

      第二类不完整椭圆积分 E(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \sqrt{1-m \sin^2\theta} d\theta \]

      评估函数的算法基于 Carlson椭圆积分。

      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      返回:
      第二类不完整椭圆积分 E(φ, m)
      另请参阅:

    • bigE

      public static Complex bigE(Complex phi, Complex m, ComplexUnivariateIntegrator integrator, int maxEval)
      获取不完整的第二类椭圆积分 E(φ, m) 使用数值积分。

      注意！目前不完整情况下的复数椭圆积分被视为实验性质，存在已知问题。

      第二类不完整椭圆积分 E(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \sqrt{1-m \sin^2\theta} d\theta \]

      评估函数的算法基于数值积分。如果积分路径过于接近被积函数的极点，则即使对于非常大的 maxEval，积分也会失败并抛出 MathIllegalStateException。这是正常行为。

      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      integrator - 要使用的积分器
      maxEval - 最大评估次数（实部和虚部分别进行评估，因此最多可能使用两倍的此数字）
      返回:
      第二类不完整椭圆积分 E(φ, m)
      另请参阅:

    • bigE

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> FieldComplex<T> bigE(FieldComplex<T> phi, FieldComplex<T> m)
      获取不完整的第二类椭圆积分 E(φ, m)。

      注意！目前不完整情况下的复数椭圆积分被视为实验性质，存在已知问题。

      第二类不完整椭圆积分 E(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \sqrt{1-m \sin^2\theta} d\theta \]

      评估函数的算法基于 Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      返回:
      第二类不完整椭圆积分 E(φ, m)
      另请参阅:
      </

    • bigE

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> FieldComplex<T> bigE(FieldComplex<T> phi, FieldComplex<T> m, FieldComplexUnivariateIntegrator<T> integrator, int maxEval)
      获取第二类不完全椭圆积分 E(φ, m)。

      注意！目前不完整情况下的复数椭圆积分被视为实验性质，存在已知问题。

      第二类不完全椭圆积分 E(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \sqrt{1-m \sin^2\theta} d\theta \]

      评估函数的算法基于数值积分。如果积分路径过于接近被积函数的极点，即使对于非常大的 maxEval，积分也会失败并抛出 MathIllegalStateException。这是正常行为。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      integrator - 要使用的积分器
      maxEval - 最大评估次数（实部和虚部分别评估，因此可能使用两倍于此数字的次数）
      返回:
      第二类不完全椭圆积分 E(φ, m)
      另请参阅:

    • bigD

      public static double bigD(double phi, double m)
      获取第二类不完全椭圆积分 D(φ, m) = [F(φ, m) - E(φ, m)]/m。

      第二类不完全椭圆积分 D(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} d\theta \]

      评估函数的算法基于 Carlson椭圆积分。

      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      返回:
      第二类不完全椭圆积分 D(φ, m)
      另请参阅:

    • bigD

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> T bigD(T phi, T m)
      获取第二类不完全椭圆积分 D(φ, m) = [F(φ, m) - E(φ, m)]/m。

      第二类不完全椭圆积分 D(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} d\theta \]

      评估函数的算法基于 Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      返回:
      第二类不完全椭圆积分 D(φ, m)
      另请参阅:

    • bigD

      public static Complex bigD(Complex phi, Complex m)
      获取第二类不完全椭圆积分 D(φ, m) = [F(φ, m) - E(φ, m)]/m。

      注意！目前不完整情况下的复数椭圆积分被视为实验性质，存在已知问题。

      第二类不完全椭圆积分 D(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} d\theta \]

      评估函数的算法基于 Carlson椭圆积分。

      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      返回:
      第二类不完全椭圆积分 D(φ, m)
      另请参阅:

    • bigD

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> FieldComplex<T> bigD(FieldComplex<T> phi, FieldComplex<T> m)
      获取第二类不完全椭圆积分 D(φ, m) = [F(φ, m) - E(φ, m)]/m。

      注意！目前不完整情况下的复数椭圆积分被视为实验性质，存在已知问题。

      第二类不完全椭圆积分 D(φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}} d\theta \]

      评估函数的算法基于 Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      返回:
      第二类不完全椭圆积分 D(φ, m)
      另请参阅:

    • bigPi

      public static double bigPi(double n, double phi, double m)
      获取第三类不完全椭圆积分 Π(n, φ, m)。

      第三类不完全椭圆积分 Π(n, φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}(1-n \sin^2\theta)} \]

      评估函数的算法基于 Carlson椭圆积分。

      参数:
      n - 椭圆特征
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      返回:
      第三类不完全椭圆积分 Π(n, φ, m)
      另请参阅:

    • bigPi

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> T bigPi(T n, T phi, T m)
      获取第三类不完全椭圆积分 Π(n, φ, m)。

      第三类不完全椭圆积分 Π(n, φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}(1-n \sin^2\theta)} \]

      评估函数的算法基于 Carlson椭圆积分。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      n - 椭圆特征
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中 k 是椭圆模量）
      返回:
      第三类不完全椭圆积分 Π(n, φ, m)
      另请参阅:

    • bigPi

      public static Complex bigPi(Complex n, Complex phi, Complex m)
      获取第三类不完全椭圆积分 Π(n, φ, m)。

      注意！目前不完整情况下的复数椭圆积分被视为实验性质，存在已知问题。

      第三类不完全椭圆积分 Π(n, φ, m) 为 \[ \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}(1-n \sin^2\theta)} \]

      评估函数的算法基于 Carlson椭圆积分。

      参数:
      n - elliptic characteristic
      phi - amplitude (i.e. upper bound of the integral)
      m - parameter (m=k² where k is the elliptic modulus)
      返回:
      incomplete elliptic integral of the third kind Π(n, φ, m)
      另请参阅:

    • bigPi

      public static Complex bigPi(Complex n, Complex phi, Complex m, ComplexUnivariateIntegrator integrator, int maxEval)
      Get the incomplete elliptic integral of the third kind Π(n, φ, m) using numerical integration.

      BEWARE! Elliptic integrals for complex numbers in the incomplete case are considered experimental for now, they have known issues.

      The incomplete elliptic integral of the third kind Π(n, φ, m) is \[ \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}(1-n \sin^2\theta)} \]

      The algorithm for evaluating the functions is based on numerical integration. If integration path comes too close to a pole of the integrand, then integration will fail with a MathIllegalStateException even for very large maxEval. This is normal behavior.

      参数:
      n - elliptic characteristic
      phi - amplitude (i.e. upper bound of the integral)
      m - parameter (m=k² where k is the elliptic modulus)
      integrator - integrator to use
      maxEval - maximum number of evaluations (real and imaginary
      返回:
      incomplete elliptic integral of the third kind Π(n, φ, m)
      另请参阅:

    • bigPi

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> FieldComplex<T> bigPi(FieldComplex<T> n, FieldComplex<T> phi, FieldComplex<T> m)
      Get the incomplete elliptic integral of the third kind Π(n, φ, m).

      BEWARE! Elliptic integrals for complex numbers in the incomplete case are considered experimental for now, they have known issues.

      The incomplete elliptic integral of the third kind Π(n, φ, m) is \[ \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}(1-n \sin^2\theta)} \]

      The algorithm for evaluating the functions is based on Carlson elliptic integrals.

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      n - 椭圆特征
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中k是椭圆模）
      返回:
      第三类不完全椭圆积分 Π(n, φ, m)
      另请参阅:

    • bigPi

      public static <T extends CalculusFieldElement<T>> FieldComplex<T> bigPi(FieldComplex<T> n, FieldComplex<T> phi, FieldComplex<T> m, FieldComplexUnivariateIntegrator<T> integrator, int maxEval)
      获取第三类不完全椭圆积分 Π(n, φ, m)。

      注意！目前，对于不完全情况下的复数椭圆积分被视为实验性质，存在已知问题。

      第三类不完全椭圆积分 Π(n, φ, m) 是 \[ \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-m \sin^2\theta}(1-n \sin^2\theta)} \]

      用于评估函数的算法基于数值积分。如果积分路径过于接近被积函数的极点，那么即使对于非常大的 maxEval，积分也会失败，并抛出 MathIllegalStateException 异常。这是正常行为。

      类型参数:
      T - 字段元素的类型
      参数:
      n - 椭圆特征
      phi - 幅度（即积分的上限）
      m - 参数（m=k²，其中k是椭圆模）
      integrator - 要使用的积分器
      maxEval - 最大评估次数（实部和虚部分别进行评估，因此可能使用两倍于此数字的次数）
      返回:
      第三类不完全椭圆积分 Π(n, φ, m)
      另请参阅: